Ahora vamos con la segunda parte de este asunto de los límites que son las indeterminaciones, que se dan cuando no es posible a simple vista (en este caso a simple cálculo) ver a donde tiende la función.
Las indeterminaciones existentes son: 0/0, inf/inf, inf - inf, 1inf, 0*inf, 00, inf0
INDETERMINACION 0/0
La historia en estos casos es factorizar numerador y denominador
Pongamos por ejemplo: Lím (x->6) (x2 - 36) / (-3x+18)
Si simplemente reemplazaramos la x por el 6 nos daría 0/0 y no podríamos saber a que tiende esta función, por lo que podríamos factoriar, lo que quedaría de esta manera: Lím (x->6) [(x+6)*(x-6) / -3*(x-6)]
Ambos (x-6) se van de la cuenta y queda:
Lím (x->6) (x+6) / (-3)Y reemplazando nos da el resultado que es -4
De cualquier manera, si tienen la certeza de tener que resolver este tipo de indeterminaciones, repasen mucho de factoreo, Ruffini y división de polinomios.
INDETERMINACION inf/inf
Este es más sencillo que el anterior, ya que para eliminar las indeterminaciones se dividen todos los términos por la potencia de mayor grado de x.
Ejemplo: Lím(x->inf) (2x-1)/(5x3+x2-x+1)
Si reemplazaramos x tendríamos un obvio inf/inf que no nos lleva a nada, así que conviene dividir todos los términos por x3
Lím(x->inf) (2x/x3-1/x3)/(5x3/x3+x2/x3-x/x3+1/x3)
Sacando todas las x que tenemos de más por la simplificación nos queda:
Lím(x->inf) (2/x2-1/x3)/(5+1/x-1/x2+1/x3)
Reemplazando nos da 0/5, por lo que el resultado es 0
INDETERMINACION inf - inf
NOTA: a los fines prácticos voy a pasar tods las raíces a potencia, por lo que obviamente la raíz cuadrada va a ser potencia 1/2.
Generalmente esto se da en restas de raíces (por lo menos en lo que a mi respecta son los casos más comunes (o por lo menos lo que me tomaron en parciales)), por lo que la solución es generalmente la multiplicación por los conjugados.
Ejemplo (y agarrensé que estos son algo más largos): Lím(x->+inf) [x1/2-(x2-3)1/2]
Si solamente reemplazaramos llegaríamos a tener inf - inf, por lo que conviene multiplicar y dividir por el conjugado (lo cual no altera el resultado porque es como multiplicar por 1), y eso quedaría así:
Lím(x->+inf) {[x1/2-(x2-3)1/2]*[x1/2+(x2-3)1/2]}/[x1/2+(x2-3)1/2]
Hago la multiplicación:
Lím(x->+inf) [x-x2+3]/[x1/2+(x2-3)1/2]
Y con esto llegamos nuevamente a la forma inf/inf, por lo que dividimos todos los términos por x2, lo meto adentro de las raíces cuando es necesario.
Lím(x->+inf) [x/x2-x2/x2+3/x2]/[(x/x4)1/2+(x2/x4-3/x4)1/2]
Simplifico.
Lím(x->+inf) [1/x-1+3/x2]/[(1/x3)1/2+(1/x3-3/x4)1/2]
Reemplazando da -1/0, lo cual es igual a -inf
INDETERMINACION 1inf
Para resolver esto les voy a dar dos límites particulares que les van a ser útiles (sino imprescindibles) para resolver esta ind.
1) Lím (x->inf) (1 + 1/x)x = e
2) Lím (x->0) (1 + x)1/x = e
Con esto puedo darles un ejemplo: Lím(x->inf) (1 + 7/x)x5
Doy vuelta la fracción para empezar a llevarlo a la forma de uno de lis límites anteriores:
Lím(x->inf) (1 + 1/x/7)x5
A la potencia la multiplico por x/7 * 7/x (que es lo mismo que 1) para llevarlo a la forma del límite:
Lím(x->inf) (1 + 1/x/7)x/7 * 7/x * x5
Si se fijan en el primer límite que puse para ese tipo de indeterminación, podríamos poner que:
Lím(x->inf) e7x4 = +inf (es +inf ya que nunca puede dar un resultado negativo).
Bien, estas fueron las indeterminaciones más importantes, voy a intentar volver a este tema si algún día me pongo a explicar las derivadas, ya que ahí hay otra forma de resolver indeterminaciones (L'Hospital).
Ingwe