Bien, este va a ser el primer artículo de matemática que voy a escribir, así que tenganme paciencia, si no entienden algo, o les parece que algo de lo que escribo está mal, ya saben, envíen un mail a ingwesoft@yahoo.com.ar y voy a hacer todo lo posible por responder.
Como no tengo ni puta de como escribir aca delta y epsilon tomaré D=delta y E=epsilon, otra cosa inf=infinito, no encontré el chirimbolo ese.
Para entender bien que es un límite, creo que lo mejor va a ser verlo de manera gráfica:
Supongamos que tenemos el lím(x->2) 2x-1, si graficamos la función llegaríamos a esto:
Se ve que cuando x tiende a 2 por la derecha o ppor la izquierda, las imágenes se aproximan al número 3, por lo que podemos decir que lím(x->2+) 2x-1=lím(x->2-) 2x-1=3 (el + que agregué al lado del 2 significa derecha y el - izquierda).
Pasemos a un segundo ejemplo: lim(x->a) f(x) donde f(x) = (x-a)2 + v y x es distinto de a.
El gráfico es este:
Acá podemos ver que mientras x se aproxima a "a", las imágenes se aproximan a "v", aunque no esté definida x=a, pero de cualquier manera al aproximarse siempre vamos obteniendo valores más próximos a "v" (puede ser medio raro, pero si no lo entienden avisen). Por esto sacamos que lím(x->a) f(x)=v.
En un tercer ejemplo, tenemos que lím(x-> +inf) ln x, lo cual gráficamente es esto:
Acá vemos que la función crece indefinidamente, por lo que no tiene un límite finito, entonces f(x) tiende a +inf.
En un último ejemplo gráfico tenemos que lím(x->-inf) ex, nos da este gráfico:
De acá vemos que a medida que x va hacia el -inf, la función se acerca cada vez más a 0, por lo que lím(x->-inf) ex=0.
Definimos lím(x->a) f(x)= L si y solo si:
para todo E>0 pequeño y arbitrario, existe un D (que depende de E) tal que: para valores de x próximos a "a" (sin importar lo que ocurre en x=a) el valor absoluto de la diferencia entre las imágenes de la función y el límite L debe ser menor que E .
Esto simbólicamente sería así:
lím(x->a) f(x)=L <===> para todo E>0, existe D(E) tal que: 0<|x-a|<D ==> |f(x) - L| <E
Entiendo que esta definición es una chotada, pero es la definición de límite, que de cualquier manera en la práctica no es tan importante. No me voy a gastar en hacer eso porque de cualquier manera hay maneras mucho más fáciles de sacar un límite, si necesitan entender esto, hay muchos lugares de donde sacarlo.
a)Límite de una constante
lím(x->a) K = K
Por ejemplo: lím(x->2) 8 = 8
b)Límite de la función idéntica
lím(x->a) x = a
Por ejemplo lím(x->2) x = 2
c)Límite de una constante por una función
Si lím(x->a) f = L entonces lím(x->a) k.f = k.lím(x->a) f = k.L
Por ejemplo: lím(x->2) 3x = 3.lim(x->2) x = 3.2 = 6
d)Si lím(x->a) f= L1 y lím(x->a) g = L2, entonces:
1)Lím(x->a) (f +g) = Lím(x->a) f + Lím(x->a) g
Lím(x->a) (f -g) = Lím(x->a) f - Lím(x->a) g
2)Lím(x->a) (f *g) = Lím(x->a) f * Lím(x->a) g
3)Lím(x->a) (f / g) = Lím(x->a) f / Lím(x->a) g
4)Lím(x->a) [f]n = Ln
5)Lím(x->a) [f]1/n = L1/n Calculo que etenderán que algo elevado a la 1/n es la raíz n de ese algo, y si no ya lo saben.
e)Límite del logaritmo
Lím(x->a) [logb f] = logb[Lím(x->a) f]
Claro que para eso el resultado de este límite tiene que ser mayor a 0, si no no existe el logaritmo y no se puede aplicar esta propiedad.
f)Límite de la función potencial exponencial.
Si Lím(x->a) f = L1 (L1>0) y Lím(x->a) g= L2 :
Lím(x->a) fg = Lím(x->a)f Lím(x->a) g
g)Si Lím(x->a) f = Lím(x->a) g = L y f <= h <= g entonces:
Lím(x->a) h = L
Teniendo en cuenta todo esto, vamos a tratar de resolver un par de ejemplos:
Ejemplo 1: Algo sencillo para comenzar: Lím(x->1/2) (2x+3)1/2
En este caso no le veo la gracia a aplicar ninguna propiedad, ya que reemplazando la x por 1/2 y una MUY sencilla cuenta, nos damos cuenta que el resultado de ese límite es 2.Ejemplo 2: Lím(x->1) [ (x2 - 2x + 1) / (x+3) ] [1/(x+1)]
Como antes, podemos resolver ese límite reemplazando la x por 1 y eso nos daría 0, pero como para practicar un poco, vamos a utilizar una propiedad, la de la función potencial exponencial. Así nos quedaría este pequeño exercise:
Lím(x->1) [ (x2 - 2x + 1) / (x+3) ] Lím(x->1) [1/(x+1)]
Si quisieramos, podríamos ahora utilizar otra propiedad, haciendo el límite de cada una de las partes de la división:
[ Lím(x->1) (x2 - 2x + 1) /Lím(x->1) (x+3) ] [Lím(x->1) 1/Lím(x->1) (x+1)]
En la división del exponente arriba tendríamos el límite de una constante, por lo tanto el resultado es la constante (1 en este caso), lo que queda dividiendo es Lím(x->1) x + 1, que nos da 2, por lo tanto el límite del exponente es 1/2.
en lo que nos queda podemos ver que el Lím(x->1) x2 - 2x + 1 = 0 y el Lím(x->1) x + 3 = 4 por lo que queda 0/4 = 0.
Al final nos queda 01/2 = 0, por lo que queda resuelto el límite.
Entiendo que era muchísimo más facil lo de reemplazar x pero quedó bien practicarlo.
Ejemplo 3: Un último ejemplo antes de terminar: Lím(x->3) [ln (x2 - 3x + 1)] / [ln(x2 - 9)]
Este ejercicio tiene una pequeña trampa, porque ustedes pudieron pensar en usar la propiedad de los límites de los logaritmos, pero acá no va a servir con la parte de abajo de la división, ya que el logaritmo de 0 no está definido.
Lo mejor para hacer en este ejercicio es ver que reemplazando la x arriba tenemos el ln 1 que es 0. Abajo podemos ver que cualquier número que se acerque a 3 por derecha o por izquierda (por izquierda debemos exceptuar los comprenddos entre -3 y 3, ya que para esos valores no existe un ln de la función definido si ustedes se fijan), va a dar un valor. Y viendo eso queda 0/algo, lo cual es 0 (exceptuando el hecho de que quede 0/0, que es algo que voy a enseñar en la próxima, pero tengan en cuenta que eso se llama "indeterminación".
Well, that´s all for me today, nos veremos next time (Que guacho, como mezclo idiomas)<---Leer esto en tono irónico
Ingwe